在变与不变的思辨中让知识自然生长

——北京小学于萍老师《小数乘法练习课》教学赏析

南京市中华中学附属小学　 姜浩坤

　　小学数学思想方法很多，“变中抓不变”是重要的数学思想方法。教学过程中往往对这种“变中抓不变”的数学思想方法思考较多，但对“不变中抓变化”却关注不够。从哲学的观点来看,变与不变是矛盾的两个方面,只有同时把握住这两个方面,才能把握住事物的本质。教师通过引导学生比较变与不变，让其主动发现知识之间的内在联系，打通算法，从而提高运算能力，北京小学于萍老师的《小数乘法练习课》给出了这样精彩的演绎。

　　一、发现变化中的不变，沟通小数乘法之间的联系

　　师：“1.2×0.34”列竖式算一算，边算边想，小数乘法怎样计算？

　　生：先按整数乘法计算，再在积里点上小数点。（板书）

　　师：也就是说，算小数乘法时，都要先把小数乘法看成一个？

　　生：整数乘法。

　　师：整数乘法是我们的老朋友了，那小数乘法与整数乘法有什么不同？

　　生：点小数点。

　　师：没错，新也就新在小数点上了，那小数点要不要点？又点在哪儿？这事重不重要？我们今天就一起来研究它。

　　师：“1.2×0.34”你们是把它看成哪个整数乘法呢？

　　生：12×34

　　师：哦，难怪你们算的过程当中是这样的两步（PPT演示整数乘法竖式），最后的结果先得到的是哪个数？

　　生：408

　　师：后来点小数点的时候才把它变身成了4.08（PPT演示加小数点的过程），是这样吧?其实不光是刚才算的这道小数乘法，在算其他的小数乘法时，是不是都会有这样的一个整数乘法，就好像它的隐形替身一样来帮助它完成计算？

　　生：是。

　　师：就这个整数替身“12×34”，还能做哪个小数乘法的替身呢？

　　生：0.12×3.4

　　师：想一想，你算它的时候，离得开这个整数乘法的替身么？

　　生：离不开。

　　师：还有不一样的么？

　　生：0.12×0.34、1.2×0.34…..

　　师：这几个小数乘法一样吗？还真不一样，替身却都是同一个，还有吗？

　　生：0.012×0.34……

　　师：说得完么？生：说不完。

　　师：现在觉得这个整数乘法的替身本领怎么样？

　　生：挺厉害。

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　　赏析：南开大学顾沛教授在讲授《数学文化》时指出：从变化的数学模型中研究不变的性质是数学研究的方向之一。于老师为了让学生更好的建立小数乘法与整数乘法之间的联系，没有直接出示小数乘法竖式，而是先通过PPT展示了整数乘法竖式变化成小数乘法竖式的过程，引导学生关注二者中不变的部分。并引入“替身”这一名词，让学生感觉新颖有趣的同时，又找到了二者的联系，即小数乘法在计算时都可以先看做整数乘法计算。更为重要的是，于老师还启发学生想到了一个整数乘法算式可以充当一系列小数乘法的“替身”：0.12×3.4、0.12×0.34、1.2×0.34…通过比较这些变化的算式，让学生认识到，算式在变，但这个整数乘法“替身”是不变的，进而体会到计算这一系列小数乘法时可以利用同一个整数乘法，为下面的精彩教学做了很好的铺垫。

　　二、寻找不变中的变化，理解小数乘法之间的区别

　　师：既然你们写出的这些算式都离不开这个替身，那你们能根据408说出这些小数乘法的计算结果么？

　　生：可以。分别是0.408、0.0408、4.08……

　　师：这组题的结果都和谁有关？

　　生：和408有关。

　　师：结果和408有关，是408变化来的，这些结果一样么？

　　生：不一样。

　　师：比如这个结果（指着0.0408），你知道它是几个几么？

　　生：0.0408有408个0.0001。

　　师：对，你们特别会交流，这个呢？

　　生：408个0.001。

　　师：最后一个……

　　生：408个0.00001。

　　师：看来结果确实不一样，有没有一样的地方？

　　生：它们的计数单位的个数是不变的，都是408个。

　　师：真的是这样吗？

　　生：是。

　　师：那什么不一样？大声说。

　　生：计数单位。

　　师：你们真的善于透过现象看本质，它们的计数单位的个数是一样的，这一样的计数单位的个数是谁帮我们算出来的啊？

　　生（大声地）：替身。

　　师：那你们在计算小数乘法时，先按整数乘法算出的积，其实是什么？替身的结果，对吧？也就是什么？（边说边指）

　　生：计数单位的个数。

　　师：真好，他们用的同一个替身，难怪他们计算结果时计数单位的个数是相同的，那他们有什么不同啊？

　　生：计数单位不同。

　　师：有的是0.1，有的是0.01，那怎么看出他们的计数单位不同？通过什么？

　　生：小数部分位数不一样，小数点的位置不同。

　　师：整数乘法算出了乘积包含计数单位的个数，小数点的位置用来确定积的计数单位。

　　赏析：教育家乌申斯基认为，我们常常是在比较中了解世界的。可以看出，于老师通过一个整数乘法“替身”建立了小数乘法与它的联系，但对于替身的理解，没有让学生浅尝辄止，在此基础上，于老师进一步让学生比较这些“替身”不变的小数乘法，让他们体验乘积的意义是变化的，分别表示408个0.001、408个0.0001、408个0.00001…这其实就是积的计数单位在变化。不变的是计数单位的个数，变化的小数点的位置用来确定积的计数单位。这样的教学让学生透过了现象，看到了小数乘法计算的本质，提升了学生对算理的认识。

　　三、比较变化中的相似，贯通小数乘法与整数乘法的“经络”

　　师：整数乘法可以做小数乘法的“替身”。其实在以前学过的知识当中，它就起到过替身的作用。你有话想说?

　　生：由12×34=408，可以知道120×34=4080。

　　全班（安静了几秒）：对。

　　师：你看，你一句话点醒了多少人啊，她是想告诉我们，这个替身在什么乘法运算中用过？

　　生：整数乘法。

　　师：什么样的整数乘法？

　　生：整十数、整百数、整千数…

　　师：比如……

　　生：120×3400.

　　师：总之，就是因数末尾有……

　　生：末尾有0的整数乘法。

　　师：因数末尾有0的乘法，你们平时怎么算的呀？

　　生：先不看0，算出结果后添0。

　　师：先不看0，那也就是先看什么？

　　生：12×34

　　师：太熟悉了吧，这个替身又出现了，运算结果是408，那么原来的积也是408吗？

　　生：不是。

　　师：但肯定和408有关，表示408个什么什么，那个什么什么是什么啊？

　　生：计数单位。

　　师：那它的计数单位靠谁来确定？

　　生：末尾的0

　　师：那靠什么来知道这里是408个1000，而不是别的？

　　生：数后面0的个数，3个

　　师：别的行不行？

　　生：不行。

　　师：添0的个数如果变化了，什么就不一样了？

　　生：计数单位。

　　师：同学们，刚才在小数乘法中，我们通过给积点上小数点来确定……

　　生：计数单位。

　　师：在这样的整数乘法中，通过给乘积的末尾添0，也是在干嘛？

　　生：确定积的计数单位。

　　师：在我们曾经学过的知识当中，是不是充满着与新知识的一种联系啊？方法看上去不一样，其实本质的道理怎么样？

　　生（很齐很大声）：完全一样。

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　　赏析：认知心理学理论认为：一切新的有意义的学习，都是在原有学习基础上产生的。这就是迁移，即旧的知识和技能对新的知识和技能的影响。小学数学教学的根本目的之一，就是培养孩子的迁移能力，促进学生把所学知识灵活应用。在这节小数乘法的练习课中，于老师的目光并没有局限于小数乘法，而是进一步引导学生将“替身”与已学的其他知识建立联系，学生很快想到末尾有0的整数乘法中也可以用这样的“替身”计算。于老师让学生结合已有经验进行回顾，进一步认识到末尾有0的整数乘法，也是可以用“替身”先算出乘积，再数末尾的0，而数0的过程，其实和小数乘法中点小数点一样，也是在确定计数单位，进而体验到方法不一样，本质是完全一样的，深化了学生对“计算单位”这一核心概念的理解。